Vibraciones Mecánicas, sistemas de un grado de libertad con oscilaciones forzadas y amortiguadas

Preguntas comunes para quienes analizan las vibraciones mecánicas

• ¿Por qué vibran los sistemas mecánicos?
• ¿Las vibraciones son beneficiosas o perjudiciales?
• ¿Por qué es necesario estudiar las vibraciones de los sistemas mecánicos?
• ¿Qué caracteriza a un sistema vibratorio?
• ¿Cómo se puede influir sobre las vibraciones de un sistema?

Preguntas cómo estás son muy comunes en quienes tienen curiosidad o estudian los diferentes sistemas vibratorios. Cuando se estudia por primera vez la materia de vibraciones mecánicas, quizás, no se es consciente de la importancia, o lo común, que es encontrarse sistemas que vibran a nuestro alrededor.

Pongamos el primer ejemplo práctico, ¿Sabes que las personas y los animales son capaces de escuchas gracias a las vibraciones?. El oído es capaz de detectar las oscilaciones que se trasladan a través del aire y así generar un patrón vibratorio que nos hace comunicarnos. En el caso de las vibraciones mecánicas, de sistemas, máquinas, herramientas, etc., sucede muy parecido.

Vibración u Oscilación

El balanceo de un péndulo o el movimiento de una cuerda tensada son ejemplos típicos de vibraciones. Ya que conocemos ejemplos prácticos podemos decir que “Cualquier movimiento que se repite después de un intervalo de tiempo se denomina vibración u oscilación´´. La teoría de las vibraciones estudia el comportamiento del movimiento oscilatorio de los cuerpos y las fuerzas asociadas.

Un sistema vibratorio general dispone de un medio para almacenar energía potencial, un medio para almacenar energía cinética y un medio por el cual la energía sale del sistema (damper). Cuando un sistema vibra transforma energía cinética en potencial y viceversa. Con esto podemos resumir lo siguiente. Si el sistema es amortiguado parte de la energía es disipada en cada ciclo, así que para mantener el movimiento se necesita energía de una fuente externa.

Clasificación de los diferentes problemas mecánicos

• Según los grados de libertad. Pueden ser de un grado de libertad (W=1) o más.
• Según la conservación de la energía. Pueden ser conservativos o no conservativos si la energía no cambia durante el movimiento (sin amortiguamiento).
• Pueden ser libres, en los casos en los que el sistema vibra por sí mismo, o forzado si existe un suministro externo de energía al sistema.
• Pueden ser lineales si la masa, la rigidez y el amortiguamiento no varían con el tiempo; y no lineales en caso contrario.

Poder clasificar el tipo de problema va a estar relacionado con nuestra interpretación, experiencia, conocimientos y requerimientos de medición. Si el problema a resolver es de un grado de libertad (W = 1) o en algunas ocasiones de dos o tres grados de libertad se pueden obtener soluciones analíticas. Llegado el caso en el que el número de grados de libertad aumente, se deben considerar representaciones matriciales y modelos discretos, por lo que en estos casos sería de gran ayuda utilizar el método de elementos finitos.

Movimiento periódico

Al rotal la manivela r el punto Q describe una sinusoide (cosinusoide) sobre el papel, que se desplaza coordinadamente hacia abajo.

• w – velocidad angular o frecuencia circular
• f – frecuencia         
• T – periodo que es el tiempo entre dos desplazamientos iguales

Representación de un parámetro de vibración

La notación compleja utilizando las relaciones de Euler es de las formas más utilizadas.

El término (r cos wt) es la parte real del número complejo y es equivalente al desplazamiento. Por otro lado, la parte (i sen wt) es la parte imaginaria y combinándola con la parte real nos permite saber la posición del vector. Todo movimiento armónico se corresponde a la rotación de un vector de magnitud constante o a un número complejo de magnitud constante (r) y velocidad angular (w).

El número complejo: 

Contiene la amplitud (r) y la información de fase (wt) en un solo término, a esto algunos autores lo llaman fasor. Según esta representación, la velocidad y la aceleración serían:

Esta forma de expresarlo es compacta, así que se hace muy fácil de implementar en códigos de programas. 

Parámetros de un sistema vibratorio

Hay parámetros que son básicos en cualquier sistema.

• Frecuencia natural de oscilación, amortiguamiento y modo de vibración.
• La selección del modelo o esquema de cálculo. Se define como la decisión de representar un modelo con los factores que imprescindibles dentro del sistema analizado.

Ejemplos

Es necesario realizar una idealización o simplificación del problema real para así:

• Obtener el modelo del sistema
• Obtener las ecuaciones que describe el movimiento
• Encontrar la solución a las ecuaciones
• Interpretar los resultados

Sistemas de un grado de libertad con amortiguamiento

Se conoce que en un sistema mecánico real existen pérdidas de energía durante el movimiento, a este fenómeno se le denomina Amortiguamiento.

Tipos de amortiguamiento

Amortiguamiento Viscoso

Produce una fuerza disipativa proporcional a la velocidad relativa entre los componentes del amortiguador.

 

c – es el coeficiente de amortiguamiento.

Amortiguamiento de Coulomb

Ocurre cuando en el sistema vibrante hay superficies con deslizamiento relativo y fricción seca. En estos casos la relación que existe entre la normal, el coeficiente de fricción y el área de contacto es compleja y en general el problema resulta no lineal.

μ – es el coeficiente de fricción

Amortiguamiento Histerésico

Es una forma de amortiguamiento interno del material como resultado de su estructura. Para cuantificar el amortiguamiento histeréstico se emplea el llamado factor de pérdidas (h) proporcional a la frecuencia; y se define un módulo complejo de rigidez-amortiguamiento k´.

β – se define como h/k

Esta no es la única forma de considerar el efecto histerésico, ya que existe otra forma que se puede ver en el análisis modal. Esta forma es la más común cuando se utilizan sistemas vibratorios complejos y es la que generalmente viene incluida en los paquetes de elementos finitos en los Softwares de cálculo.

Sistema de un Grado de Libertad con Oscilaciones Forzadas

Hay situaciones en las que sobre el sistema actúan fuerzas variables, que son que hacen que se ponga y se mantenga en movimiento. Estas fuerzas por su origen pueden ser internas para el propio sistema (desbalances, etc) o de origen externo aplicado al sistema por una fuente externa.

En general. la ley de variación en el tiempo puede ser muy diversa. Las más importantes para su estudio son las que tienen una variación periódica, en particular, las armónicas.

Puede existir una solución x(t) que satisface la ecuación diferencial, pero no tiene por qué satisfacer las condiciones iniciales enunciadas. Del cálculo diferencial se conoce que una ecuación de este tipo tiene una solución formada por la suma de dos soluciones:

• La de la ecuación homogénea (se igualan a cero los términos la izquierda) que sería la misma solución de las vibraciones naturales.
• La solución estacionaria, esta solución por lógica tiene que vibrar a la misma frecuencia que la de la excitación

La suma de las dos ecuaciones resulta en:

Esto se conoce como la respuesta forzada del sistema, o respuesta estacionaria. En la medida en que 1 la amplitud tiende a infinito.

En la situación en la que la frecuencia de la excitación coincide con la frecuencia natural se le denomina resonancia. En este régimen se obtienen teóricamente amplitudes infinitas, que no lo son en realidad por la presencia del amortiguamiento. Este régimen se evita, ya que asociado a las grandes amplitudes de las vibraciones están asociados grandes esfuerzos y deformaciones en los materiales.

Factor de amplificación de la respuesta estacionaria

• Para ω = 0, a fuerza es estática y por lo tanto X = F₀/k que es la deformación estática.
• Para ω/ω_n << 1 el sistema tiene un comportamiento predominantemente estático, la rigidez k es el factor más importante.
• Para ω = ω_n el resultado se indefine.
• Para ω/ω_n >> 1 el comportamiento es dinámico y la frecuencia ω es el factor más importante.

Vibraciones forzadas en sistemas de un grado de libertad con amortiguamiento

De igual forma se busca la solución general como la suma de la solución estacionaria y la solución de la ecuación homogénea.

Así que si resumimos la ecuación final el factor de amplificación se define como: